1.3 理论基础
尽管冲突成功函数已有多种形式，但是对于它的理论讨论仍在继续，理论工作者可能会设计出更多、性质更加良好的新函数形式。这时人们可能会质疑，满足1.1节中性质1和性质2的函数有无穷多种，为什么冲突理论要选择具有（1.1）式基本形式的函数来表示冲突成功的概率呢？浩、什卡佩尔达斯和韦德亚（Hao,Skaperdas and Vaidya,2011）回答了这个问题，他们给出了冲突成功函数的理论基础。冲突（竞赛）成功函数的理论基础可以从四个方面考虑：冲突成功函数满足一些公理化条件；冲突成功函数可以随机地被推导出来；冲突成功函数是一种最优机制设计的结果；冲突成功函数的设定具有微观证据的支持。
我们首先简单解释一下后两类理论基础。冲突成功函数代表了冲突的技术，它也可以被看做一种获胜规则。从规则设计者的角度看，他可以选择冲突或者竞赛的形式，以最优化自身利益。要如何根据竞赛者的“表现”分配“奖励”（这种奖励对于竞赛设计者而言是有价值的）呢？这取决于竞赛设计者的目标函数、可选的冲突成功函数，以及竞赛者之间的异质性。这种考虑广泛应用在寻租、诉讼、企业管理、政府分配排污权中。因此，冲突成功函数可以通过最优机制设计得到（Epstein and Nitzan,2006；Dasgupta and Nti,1998；Nti,2004；Franke,Kanzow,Leininger and Vath,2009）。而从实证微观基础角度推导冲突成功函数的学者，则认为冲突成功函数来源于现实中竞赛参与者在不同环境下的策略性互动。因此，其在描述冲突/竞赛环境特征的基础上，使冲突成功函数自然地反映竞赛者获胜的概率。
由于后两类理论基础较前两类理论基础所描述的冲突/竞赛环境与我们所界定的“暴力冲突”差异较大，所以在本节下面的内容中我们将简单介绍浩、什卡佩尔达斯和韦德亚（2011）对前两类理论基础的解释。
1.3.1 冲突成功函数的公理化性质
冲突成功函数的公理性基础是指，冲突成功函数的数学形式要满足冲突或竞赛的特点，其中最为重要的性质就是什卡佩尔达斯（1996）提出的“不相关选择独立性”（Independence of Irrelevant Alternative Property）。这一性质意味着冲突双方的胜负关系仅仅由参与双方军事能力的对比决定，而与任何第三方的军事能力无关。什卡佩尔达斯通过公理化证明验证了在不完全歧视（imperfectly discrimination）[1]条件下冲突成功函数的基本形式，即
同前文一样，其中n为参与冲突的人数，pi（Mi,M-i）为第i个参与者冲突成功的概率，Mi为第i个参与者的军事能力。f（Mi）被称为第i个参与者的冲击函数（Shock Function），即第i个参与者在军事能力为Mi的情况下，所能达到的效果。
符合（1.13）式的冲突成功函数满足以下五个公理化性质。
公理1：
，并且对于所有的i∈n及M都有pi（M）≥0，特别当Mi＞0时，pi（M）＞0。
公理2：pi（M）为Mi的单调增函数，为Mj的单调减函数，这对于所有的i,j∈n,且i≠j均成立。
公理3：对于n个参与者的任意数学排列π，有如下关系成立，即
。这表明，每一个参与者的冲突成功概率与其自身或对手的个人属性/身份无关，而只取决于其自身与对手的军事能力。
公理3也被称为“匿名性公理”。它意味着当两个参与者的军事能力相同时，其冲突成功的概率也相同；当n个参与者均付出相同程度的努力时，每一个参与者的冲突成功概率为1/n。
下面的公理4和公理5是关于全部参与者n的子集的一些性质。假设参与者中的一部分人想要与其他人脱离开来，形成一个新的非空子集m,并在他们自己中展开新的争夺。因此m是n中的一个非空子集，且有m≤n,m≥2。定义pim（M）为在m个参与者中，第i个参与者获胜的概率。
公理4：
。
公理4表明，参与者i在这个新子集中的获胜概率等于它在所有n个人冲突中获胜的概率比上组成新子集的m个参与者获胜的概率之和。
公理5：pim（M）仅与子集m中的参与者的军事能力有关，与不在子集m中的其他参与者的军事能力无关。也就是pim（M）=pim（Mm），这里Mm=（Mj；j∈m）。
公理5′：对于所有的i∈n,有
；对于所有的i∈m＜n,有
。这里，f（·）是一个递增的正值函数。
可以证明以下定理或公理均成立。
定理1.1：当且仅当冲突成功函数符合公理5′的定义时，公理1—公理5才全部得到满足。
公理6（齐次性公理）：令λM=（λM1，λM2，…，λMn），则pi（λM）=pi（M），对于所有的λ＞0和i∈n成立。
公理6′：如果获胜概率只取决于参与者军事能力的比值，则f（Mi）=αMμi,其中a＞0，μ＞0。
定理1.2：符合公理6′的冲突成功函数是满足公理1—公理6的唯一连续函数形式。
公理7：每个参与者的获胜概率只取决于参与者军事能力之间的相对差值，即p（Mi）=p（Mi+c），Mi+c≥0。
公理7′：冲击函数取逻辑符号（Logic）函数形式，即f（Mi）=ekMi,k＞0。
定理1.3：符合公理7′的冲突成功函数是满足公理1—公理5和公理7的唯一连续函数形式。
因此，定理1.1表明了以（1.1）式作为冲突成功函数的基本形式的合理性。定理1.2和定理1.3进一步显示了比率形式的冲突成功函数及差分形式的冲突成功函数是满足五条基本公理性条件和某些特定条件（公理6′和公理7′）的函数形式。
1.3.2 冲突成功函数的随机推导
冲突成功函数随机推导的基本假设是：冲突双方的成败结果受到一些除军事能力之外的随机干扰的影响。
假设每个参与者的“表现”用Yi来表示，Yi=h（Mi,θi）。其中Mi是参与者的军事能力，而θi则表示外界干扰，它是一个随机变量。假设只有两个参与者，谁的“表现”好，即Yi高，谁就胜利。因此，参与者1获胜的概率就是Y1＞Y2的概率，即
因此，参与者获胜的概率不仅依赖于军事能力，还受到h（Mi,θi）的具体形式以及θi的分布函数的影响。通过假设不同的h（Mi,θi）形式及θi不同的分布函数，就可以得到不同的冲突成功函数。
情况1：如果h（Mi,θi）采取简单的线性形式，h（Mi,θi）=Mi+θi,并假设每个参与者受到的干扰θi～N（μ，σ2）且独立同分布，则冲突成功函数将是Probit形式。[2]
但由于正态分布的累积概率函数无解析式，故Probit形式的冲突成功函数应用得较少。
情况2：如果h（Mi,θi）=Mi+θi,并假设每个参与者的θi独立同分布，且服从极端值分布（Extreme Value Distribution），则可以得到符号逻辑/差分形式的冲突成功函数，即
。[3]
情形3：如果h（Mi,θ）=Miθi。假设每个参与者的θi独立同分布，且服从逆指数分布（Inverse Exponential Distribution），则得到比率形式的冲突成功函数
。
假设h（Mi,θi）=Miθi意味着：
（1）“表现”不会出现负值。否则，参与者不会参与竞赛。
（2）如果有某个参与者不投入任何努力，即Mi=0，那他的表现必然是最差的。这时尽管存在随机性因素，但竞赛变为了确定的，随机性因素不再起作用。
参考文献：
Amegashie,J.A.A Contest Success Function with aTractable Noise Parameter.Public Choice,2006（126）:135144.
Baik,K.H.Difference-Form Contest Success Functions and Effort Levels in Contests.European Journal of Political Economy,1998（14）:685701.
Che,Y.K.and I.Gale.Difference-Form Contests and the Robustness of All-Pay Auctions.Games and Economic Behavior,2000（30）:2243.
Corchon,L.and M.Dahm.Foundations for Contest Success Functions.Economic Theory,2010,（43）:8198.
Dasgupta,A.and Nti,K.O.Designing an Optimal Contest.European Journal of Political Economy,1998（14）:587603.
Epstein,G.and S.Nitzan.The Politics of Randomness.Social Choice and Welfare,2006（27）:423433.
Franke,J.,C.Kanzow,W.Leininger,and A.Vath.Effort Maximization in Asymmetric N-person Contest Games.Technical Report,2009.
Grossman,H.I.and M.Kim.Swords or Plowshares?A Theory of the Security of Claims to Property.Journal of Political Economy,1995（103）:12751288.
Hao Jia,Skaperdas,S.and Vaidya,S.Contest Functions:Theoretical Foundations and Issues in Estimation.Working Paper,2011.
Hirshleifer,J.Conflict and Rent-Seeking Success Functions:Ratiovs.Difference Models of Relative Success.Public Choice,1989（63）:101112.
Hirshleifer,J.The Macrotechnology of Conflict.Journal of Conflict Resolution,2000,44（6）:773792.
McFadden,D.L.Conditional Logit Analysis of Qualitative ChoiceBehavior.in P.Zarembka,ed.,Frontiers in Econometrics,New York:Academic Press,1974:105142.
Nti,K.O.Maximum Efforts in Contests with Asymmetric Valuations.European Journal of Political Economy,2004（20）:10591066.
Skaperdas,Stergios.Contest Success Functions.Economic Theory,1996（7）:283290.
Skaperdas,S.and S.Vaidya.Persuasion as aContest.Economic Theory,available from http://www.springerlink.com/content/032m65h065380177/fulltext.pdf,2010.
Tullock,G.On the Efficient Organization of Trials.Kyklos,1975（28）:745762.
Tullock,G.Efficient Rent Seeking,in J.M.Buchanan,R.D.Tollison,and G.Tullock,eds.,Toward aTheory of the Rent-Seeking Society,College Station:Texas A＆M.University Press,1980:97112.
注释
[1]所谓“不完全歧视”是指这样一种情况，在冲突中，能力强的一方不会必然获胜，只是获胜的可能性大些而已。这一点不同于拍卖中出价最高者必然获胜的情形。
[2]Probit函数是通过适当变换，且获胜概率符合标准正态分布的累积概率函数。
[3]麦克法登（MacFadden,1974）给出了证明。