《算术、真与悖论》概要
熊明[1]
一、研究的目的、意义及方法
形式真理论是20世纪30年代由著名逻辑学家哥德尔和塔斯基共同开创的一个逻辑领域，这个领域是现代逻辑与语言哲学的交叉领域，主要利用数理逻辑方法研究哲学核心概念——真——在形式语言中的可定义性问题，同时致力于探究和分析与真的可定义性问题密切相关的悖论问题。形式真理论的基本问题和基本方法都导源于现代逻辑最基本也是最重要的两个定理：哥德尔的不完全性定理和塔斯基的不可定义性定理。可以说，从开启之时直到现在，形式真理论八十多年来始终占据了哲学逻辑的核心位置。同时，形式真理还有许多重要且基本的问题亟待解决，因此也是当代逻辑研究最活跃的领域之一。
本成果的主要目的是围绕形式真理论的基本问题，对形式真理论中的基本理论与基本方法进行系统的阐述，为此领域的研究者提供一个全面的指导；同时基于笔者近年来在形式真理论研究上取得的一系列成果，对当前形式真理论研究的热点问题和前沿问题进行深入的探究，为形式真理论中的悖论问题研究提供一个范本，指引相关方向的研究工作。
本成果属于基础理论研究，主要依据哥德尔在证明不完全性定理时所提出的对角线引理构造各式各样的悖论语句，并基于塔斯基T-模式的一个推广形式，创造性地结合了逻辑分析和图论着色两种方法，对塔斯基不可定义性定理进行推广，解决了悖论语句中真谓词的可定义性问题，由此刻画了悖论的矛盾性本质，深刻地揭示了悖论与自指和循环之间的紧密关联。
本成果基于自然数的一阶理论对算术真进行研究，广泛涉及模型理论、集合理论、可计算理论和数学基础等领域，深入探讨了关于真与悖论的主要理论，并对传统哲学中的某些真理论（例如紧缩真理论）进行了探讨。本成果对分析哲学和哲理逻辑的各个分支都有重要的理论意义和应用价值。
二、成果的主要内容和重要观点
本成果分为三个部分：算术、真和悖论。第一部分“算术”主要阐述形式真理论在20世纪30年代的成果，包括哥德尔不完全性定理中与真理论密切相关的技术思想和方法，重点阐述了塔斯基不可定义性定理及其相关的延伸性结果。这一部分为后续理论提供了技术与思想两方面的准备。第二部分“真”除阐述了塔斯基的语言层次理论之外，主要阐述20世纪60年代直到最近逻辑学家围绕真与悖论问题建立起的占主流地位的几个基本理论，包括克里普克、赫兹伯格、古普塔、贝尔纳普、莱特格布等人的理论。这一部分侧重于真在形式语言中的可定义性问题的探究。第三部分“悖论”是笔者自2005年以来在形式真理论领域取得的一系列成果的总结和发展。这部分侧重于与真相关的悖论的可描述性问题的探索。总体说来，第一部分是本成果的基础，而第二、三部分则是主体，内容上各有侧重。笔者希望提供这种架构把形式真理论的基本理论与最新成果进行融会贯通，既全面系统地阐述形式真理论的核心理论，又深入研究领域的腹地，开拓新问题并提出解决问题的新思想新技术，为形式真理论的发展指明新的研究课题和研究方向。
本成果以形式真理论中的两个基本问题作为两条线索来统领全书：一条线索是真在形式语言中的可定义性问题，另一条线索是悖论在形式语言中的可描述性问题。在本成果中，塔斯基不可定义性定理是作为以上两个问题不可调和的结果出现的：或者悖论在形式语言中的可描述性意味着该形式语言中的真无法被无矛盾地定义出，或者真在形式语言中可定义但悖论又被拒斥于形式语言之外。本成果通过系统全面地梳理主流的形式真理论，论证了形式真理论的发展事实上是这两个问题的“拉锯战”：有时候，人们因过于侧重于在形式语言中定义真，而拒悖论于形式语言之外或虽然在形式语言中容留悖论但实际上限制或去除了悖论的矛盾本性；有时候，人们又过于侧重于在形式语言中描述悖论，而忽略了真的可定义性问题。本成果最后一部分的研究表明，通过引入塔斯基T-模式的一个推广形式，可以把上述两个问题“相反相成”地联系在一起，既可以在形式语言中对悖论做出明确的描述——明确它们发生矛盾的条件，又可以根据这样的描述性条件反过来建立形式语言中的真在何种条件下是可定义的。这也是本成果的基本观点。
下面更详细地概述各个部分的主要内容和重要观点。
第一部分由六章组成，重在阐明形式真理论的理论背景和基本问题，指出真在形式语言中的可定义性所必须面对的基本困难——悖论，并提供解决此困难的基本思想和基本工具，主要包括为探究形式真理论所必需的可计算函数（又称为递归函数）、体现万物皆数思想的哥德尔编码技术、构造各种悖论的基本工具——对角线引理，以及对所有这些概念思想形成汇总的塔斯基不可定义性定理。所有这些内容都基于一个基本的一阶理论——形式算术，因此这一部分被命名为“算术”。
第一部分的主要目标有两个：对角线引理的证明和不可定义性定理的证明及其新近的若干发展。对角线引理是哥德尔不完全性定理中最重要的引理，是证明哥德尔定理的关键，同时也是理解哥德尔定理的难点所在。此部分详细给出了哥德尔编码的技术构造，深入浅出地阐述了哥德尔形式算术的算术化过程，为对角线引理提供了一个思想上直观且技术上自足的证明。在对哥德尔编码技术的阐述中，特别强调了其中的万物皆数的哲学思想，这一思想在第二、三部分的很多章节中都有体现，在不同的理论中得到了反复的强化。对角线引理在本成果中被反复使用，主要用来构造各种自指性的语句，尤其是悖论性的语句。可以说，对角线引理中的对角线过程是在算术语言中构造各种悖论语句最精致也最直接的方法。没有对角线引理，很难想象真与悖论的研究何以能够发展起来。
塔斯基不可定义性定理是与哥德尔不完全性定理同等重要的著名结果。如果说哥德尔不完全性定理证明中的关键引理——对角线引理——为形式真理论打好了基础、埋下了伏笔，那么塔斯基不可定义性定理就是形式真理论领域的第一座丰碑，开启了一个传统的哲学领域——真理论——的数理逻辑新时代。对于形式真理论的发展，不可定义性定理是一个承前启后继往开来的伟大成果。说它“承前”，是因为它与不完全性定理一样，都是对角线引理的两个并行的推论：它是对角线引理应用到真谓词的产物，而不完全性定理是对角线引理应用到可证性谓词的产物。历史上，塔斯基正是在了解到不完全性定理之后，在他自己关于真谓词的研究成果之上提出并建立起不可定义性定理的。说不可定义性定理“启后”，是因为这个定理首次把算术真与逻辑悖论以一种奇特的方式联系起来，直接揭示了真概念对于足够丰富的形式语言（更不用说自然语言）内蕴着逻辑矛盾。这为形式真理论的研究设立了两个基本的问题：真谓词的可定义性问题和悖论的可描述性问题。事实证明，形式真理论后续的发展都是围绕着这两个问题展开的，研究者不论提出何种理论，最终的目的都是解决好上述两个基本问题。
在阐述不可定义性定理之后，此部分还全面梳理了其周边的几个重要结果，从20世纪60年代的蒙太格定理到80年代的麦基定理等。这些结果是对不可定义性定理的精致化，它们通过在算术语言中引入一些更强的悖论来揭示在形式语言中定义真时所必须面对的更多也更大的困难。这不但是对角线引理的应用例子，而且进一步揭示了真的可定义性问题与悖论的可描述性问题的共生共灭的关系：一个强则另一个更强，一个弱则另一个也相应减弱。这也暗示了这两个问题相互制衡的关系，为以后采取新原则解决这两个问题铺好了理论背景。
第二部分主要阐述真与悖论研究领域四个主要的理论：30年代的语言层次理论、70年代的不动点理论、80年代的修正理论和21世纪初的语义依赖关系理论。从前往后，后来的理论都直接继承了先前理论的某个方面，同时又对先前理论有所推进和创新。语言层次理论是塔斯基针对他在不可定义性定理中指出的真与悖论问题和困难提出的解决方案。不动点理论则是克里普克在语言层次理论的基础之上，使用非经典赋值模式取代塔斯基原先的经典赋值模式而建立起的一个新理论，这个理论通过超穷归纳的过程构造出不动点，首次实现了在一个语言内部定义出该语言的真谓词，为形式真理论的发展开辟了一个新天地。修正理论是赫兹伯格和古普塔各自独立地几乎同时建立起的一个理论（这种理论的一个关键思想又由贝尔纳普进行扩展），这个理论在赋值模式上回归到了塔斯基的经典二值模式，但在一定程度上又保持了不动点的迭代过程，使得真谓词在语言受某种条件限制（其实质就是限制悖论语句的可描述性）下是可定义的。语义依赖关系理论由莱特格布提出，它也是在经典二值模式下建立起的一个理论，其中对形式语言中的真的定义同样采纳了克里普克理论中的不动点构造过程，而这个构造过程之所以能达成不动点的一个关键的因素在于语句之间通过语义依赖关系进行了限定，使得悖论的描述受到了一定的限制。总之，这四个理论是一脉相承的，都对不可定义性定理中包含的两个问题给出了某种解决方案。
塔斯基对形式真理论的贡献是无人可以匹敌的，因此本成果对其贡献在内容的安排上也是煞费苦心的。一般公认，塔斯基对形式真理论的贡献主要有两个方面，一个方面就是不可定义性定理，这是一个与哥德尔不完全性定理比肩的里程碑式的结果。如前文已经指出，这个结果标志着形式真理论的正式诞生，指明了形式真理论研究的两个基本问题是真的可定义性问题和悖论的可描述性问题。塔斯基对形式真理论的贡献还有一个方面，这就是语言层次理论，这是塔斯基为解决真的可定义性提出的理论方案：以层次对语言进行分层，从而克服悖论问题而达到在元语言层次定义对象语言层次的真谓词。本成果特别地把塔斯基的不可定义性定理作为算术部分的压轴大戏，同时又把塔斯基的语言层次理论作为真部分的开篇，就是要突出塔斯基在形式真理论领域无可替代的开创性贡献，对他开启一个时代表示深深的敬意。
值得指出的是，在阐述语言层次理论的时候，本成果不但忠实地阐述了塔斯基在30年代的工作，而且详细介绍了维塞尔在80年代给出的一种新的语言层次方案：如果说塔斯基的语言层次是从底层语言通过不断添加新的真谓词形成丰富程度逐渐增加的语言层次，那么维塞尔的语言层次则是从顶层已经具有无穷多个真谓词的语言开始不断去除真谓词形成丰富程度递减的语言层次。两种语言层次都达到了同一目的：在丰富程度更大的语言中能定义丰富程度更小的语言中的真谓词。
本成果对语言层次理论下足了力气。在阐述语言层次理论时，本成果还特别强调了形式真理论中定义真的两种主要的方式。一种是由塔斯基在其语言层次理论中开创的语义定义的方式，这种方式以显明的形式对语言中的真谓词应该包含哪些真语句直接做出规定，在规定中要特别考虑悖论在多大程度上是可描述的。另一种是仍由塔斯基提出的公理定义的方式，但他本人对此种定义方式持不太乐观态度，后来经过其学生费弗曼等人进行完善才逐渐走上正轨。这种方式是用公理以比较隐晦的形式对语言中的真谓词进行纯粹句法的限定，这种句法的限定同时约束了悖论相关的推理，从而间接地回答了悖论的可描述性问题。语义定义和公理定义是当代形式真理论分析真与悖论最常采用的两种方法，以至于这个领域中的理论被划分为语义真理论和公理真理论。本成果在“真”部分的开篇就点明这两种方法，为其他理论阐述指定了一个基本的框架。
塔斯基之后，形式真理论中影响最大者莫过于克里普克的不动点理论，再往后影响稍次一些的是赫兹伯格和古普塔各自独立缔造的修正理论。这是本成果“真”部分花了最多笔墨进行阐述的两个理论。前文已指出，这两个理论对语言层次理论既有继承又有发展。继承的主要方面是都使用了语义定义的方式来直接规定真谓词的外延，发展方面主要是把塔斯基原先按语言层次逐层构造真谓词的过程改造成通过超穷多次迭代偏谓词逐渐逼近真谓词的过程，从而可在一个语言内部定义出该语言的真谓词。这两个理论在发展方面的不同之处在于，不动点理论中对真谓词的逼近过程是单调增加的，这又得益于对真之语义定义中使用的赋值是非经典的（比如，克林的强三值赋值、范·弗拉森的超赋值模式等等）；而修正理论坚持了塔斯基的经典二值赋值模式，相应地，对真谓词的逼近就不再是单调的。本成果重点阐述了上述两个理论在真谓词的超穷逼近过程中在单调性方面的不同特征，并比较了它们定义中的真谓词在外延上的联系与差别。
形式真理论发展至今，成形且有一定影响的理论不下十种。比如，80年代巴维斯（J.Barwise）的理论和90年代末菲尔德（H.Field）的理论在西方哲学逻辑界都有较大影响。但任何一部专著在众多的理论中都应有一定的取舍，不可能包罗万象。本成果在选取理论的时候有三个考量要素：第一，理论必须是对塔斯基理论的继承和发展，不能与塔斯基不可定义性定理中所设立的问题偏离过大；第二，理论必须是基本的，不能是已有理论的组合式的发展；第三，理论必须对笔者发展的理论有用或有意义。最后一个考量要素也许有些主观，但本成果作为一部专著必须体现出著者的视野和眼光。巴维斯的理论把语义理论直接奠基于非良基的集合理论上，这对塔斯基的语义理论做出了过强的改动，完全改变了真的可定义性问题的性质，而且非良基集合理论本身仍旧是一个相当不成熟的理论，其中的问题甚至比形式真理论中的悖论问题还严重，因此把它作为形式真理论的基础理论显然是不恰当的。菲尔德的理论则是通过一个新的蕴涵算子，把修正理论中的非单调过程转移到不动点理论中的单调过程中，这种技术本身是相当漂亮的，但却是修正理论与不动点理论的某种组合。因此，菲尔德的理论的基础性不强，不符合考虑要素之二。所以，巴维斯和菲尔德的理论都没有进入本成果内容之中。
在“真”部分的最后一章，本成果阐述了莱特格布的语义依赖成果。这个成果是比较新的成果。应该说，这个理论的影响不如巴维斯和菲尔德的理论。那么，为什么又把这个理论包括在本成果之中呢？这是因为，莱特格布的成果完全符合前文提到的三个考量要素。这个理论通过引入一种崭新的语句之间的关系——语义依赖关系，在经典二值语义下，实现了不动点理论中的单调的真谓词逼近过程。在这个意义上，这个理论融合了不动点理论和修正理论的长处。而且，语义依赖关系提供了一种描述悖论自指性的基本手段。在笔者看来，语义依赖关系是研究真与悖论的强有力的技术，在形式真理论中会得到越来越多的应用，笔者自己的研究成果也表明了这一点。
总的说来，第二部分按照理论产生的先后顺序，根据前文提到的两条线索，逐步介绍形式真理论中的四个基本理论，全局性地展现了这个领域的方方面面。
第三部分是笔者自2005年以来在形式真理论领域取得的一系列成果的总结和发展。这一部分的首章即指出笔者的成果是基于塔斯基T-模式的一个推广的形式——被称为“相对化T-模式”——做出的。塔斯基T-模式说的是：断定一个语句为真等价于断定这个语句。这是塔斯基为真在形式语言中的定义提出了一个所谓“适当性”标准，是形式真理论中制约真谓词的基本原则。这个原则是各种理论讨论真的可定义性问题与悖论的可描述性问题的核心。在第二部分的各个理论中，它都作为一个谓词是否是真谓词的主要考量点反复出现。而笔者所提出的相对化T-模式正是对塔斯基T-模式在可能世界上的推广。但这种推广并不是凭空产生的，而是有着深厚的理论背景。事实上，相对化T-模式通过详细地考察塔斯基、克里普克、赫兹伯格和古普塔的理论中对真谓词的构造过程，把这些构造过程共同的方面通过可能世界及其通达关系进行抽象概括，最终提炼出一个带参量的T-模式。考虑到这些构造过程最终的目的都是构造出符合塔斯基T-模式的真谓词，就有理由认为这种以可能世界作为参量的T-模式有其理论必然性。
如果说第二部分的理论都是围绕着塔斯基T-模式展开的，那么可以说第三部分是围绕着相对化T-模式展开的。这一转变相应地带来了研究视角的改变。与第二部分中的理论侧重于真在形式语言中的可定义性问题不同，第三部分更侧重于先解决悖论在形式语言中的可描述性问题。如果说第二部分中的各个理论都是试图在寻找一类哲学上充足同时范围又足够大的非悖论的语句，使得它们都满足塔斯基T-模式，那么第三部分就是寻求解决每种悖论语句不会导致矛盾的充分必要条件，由此回答悖论在何种最低条件下能够满足塔斯基T-模式的相对化形式。这也是第三部分被称为“悖论”的主要原因。
在第三部分，基于相对化T-模式，笔者给出了一系列的悖论刻画定理，从简单如说谎者这样的悖论到复杂如超穷卡片这样的悖论。例如，对于说谎者，相应的描述性结果如下：说谎者语句在一个框架下是悖论的，当且仅当这个框架中含有长度为奇数的循环。更一般地，任何的正整数n，n-卡片语句集在一个框架中是悖论的，当且仅当此框架中含有一深度不能被2i+1整除的循环，其中n=2i（2j+1）。对超穷卡片语句集，它们在一个框架中是悖论的，当且仅当此框架中含有这样的点，由此点出发的道路的深度可以任意大。
这些有关悖论的刻画定理在纯粹的技术上就有突出的理论意义。在这一方面，所有这些结论事实上都是对塔斯基定理的推广。科学发展的一种重要表现就是原先的负面性的结果在被推广之后变成了一些新现象和新对象证明的特征。从这点来看，悖论的刻画定理就是对塔斯基定理的一种非常典型的由负面转正面的推广范例。事实上，塔斯基定理是用来揭示悖论的矛盾特性对真定义的破坏性，而这个定理在推广后变为了在真的某种特征下寻求悖论发生矛盾的条件：这种条件正好用于悖论矛盾本性的正面揭示！我们确实看到，不同的悖论发生矛盾的条件可能不同，这也正面地揭示出悖论对真定义的破坏性是有程度差异的。
这些结果除了对各个悖论的矛盾本性进行了揭示，还对悖论的可描述性问题给出了一个创造性的解答。比如，在不动点理论中，悖论仅仅被描述为在每个不动点中非真非假的语句，这种描述给出了悖论的一个共性却未能说明悖论之间的差异。而在修正理论中，悖论被描述为真值在任何修正过程中都不稳定的语句，同时也给出了悖论之间在不稳定性方面的差异，但无法说明悖论的矛盾本质。而本成果的研究不但刻画出了悖论的共性，还明确界定了悖论之间在矛盾性上的差异。共性表现在一切悖论在极小自反框架中都是矛盾的，差异则表现在每个悖论都是在一定条件下出现矛盾的，而且不同的悖论对应的条件有可能不同。事实上，悖论本身正是通过它的矛盾条件得到刻画的，由此得到了“悖论度”概念，它反映了悖论在矛盾程度方面的强弱之别。例如，根据先前提到的一些结论，超穷卡片语句集的矛盾程度（在成果中被称为“悖论度”）高于任何一个n-卡片语句集的矛盾程度，而2-卡片语句集的矛盾程度又高于说谎者语句的矛盾程度。
悖论度的提出不但揭示出悖论与悖论之间矛盾程度的差异，而且展示了悖论在数学结构和性质方面的多样性和丰富性。在后一方面，本成果提及了布尔悖论，其基本特征是悖论中的语句在量词的辖域中没有真谓词的出现，因而其中语句本质上是形如T[A]的原子语句的布尔组合。笔者证明了即使只限于考虑布尔悖论这样一类在形式结构上比较简单的悖论，这些悖论的悖论度也是惊人的复杂和富于层次性。例如，对任何一个布尔悖论，往上看，都会存在新的布尔悖论，后者的悖论度高于前者的悖论度（无上界）；反之，对任何一个布尔悖论，往下看，都会存在新的布尔悖论，后者的悖论度低于前者的悖论度（无下界）。对任何两个布尔悖论，如果其中一个的悖论度低于另一个的，那么往它们的中间看，必定会发现这样的布尔悖论，其悖论度严格地介于上述两个悖论的悖论度之间（稠密性）。虽然并非任意两个布尔悖论的悖论度都可比较（即并非一大一小），但是一定存在一个布尔悖论，其悖论度是上述两个悖论的最小上界；同样的结论对最大下界也成立（格性）。所有这些都是笔者首次发现的悖论的悖论度层次。这种层次本身在数学上是一种优美的结构。如果说塔斯基为了回避悖论，人为地发明了语言的层次以便把悖论“和谐地”摆在某个层次，那么也可以说笔者对悖论的探索是在算术语言这样一个得天独厚的语言中发现了悖论本身的层次性——而且这种层次绝非人为的，而完全是数学中以等价类区分出的度的结构，是逻辑矛盾程度不同的一种表现。
这里值得指出的是，对悖论的悖论度的刻画和比较，本成果充分应用了修正理论中对悖论语句的周期性特征。笔者的研究与第二部分中的理论尤其是修正理论是一脉相承的。随着研究的深入，笔者还进一步利用了语义依赖关系，在算术语言中一般性地讨论了悖论与自指、悖论与循环之间的关系。例如，在自指性上，一方面证明了所有只有有穷多个语句的悖论必定都是自指的，另一方面又给出了一些无穷悖论，它们不具有自指性。而在循环性上，一方面证明了所有有穷悖论都必须基于一定的循环性否则不会产生矛盾，另一方面又给出了这样的无穷悖论，其矛盾性不一定建立在循环性之上。这些结果表明了无穷悖论尤其是那些量词辖域含有真谓词的悖论远比有穷悖论复杂。
对悖论度的研究虽然已经取得上述令人耳目一新的成果，但一切还只是刚刚开始，这是因为到目前为止，所考虑的主要是语句在数量上有穷或语句中量词辖域不含真谓词的悖论。对于那些具有无穷多个语句同时量词辖域含有真谓词的悖论，已得到雅布鲁悖论和超穷卡片悖论的悖论度刻画和比较结果，但仍有更多的未知等待探索。比如，悖论度是否具有完备性：给定任意多个悖论，是否一定存在一个悖论，其悖论度是前述那些悖论的最小上界（或最大下界）？已经证明悖论度在一切悖论范围内是有上界的（也就是说，有悖论是“最矛盾”的），那么同样的结论对下界是否成立？著名的数学家希尔伯特曾经说过：“如果一个科学分支还能找到大量的研究问题，那么这个分支还活着；研究问题的缺失则预示着这个科学分支的消亡或独立发展的终结。”本成果阐述并解释现有的一些结论，但这样做的真实目的是向读者展示一系列的前沿性问题，提示读者形式真理论仍是具有无限生机的一门逻辑分支，从而指引更多的学生或学者投身于悖论的研究之中，感受悖论的理论之美，获取有关悖论的更多真理。这也是笔者完成本成果的一个初衷。
三、成果的学术创新、应用价值以及社会影响和效益
真理论专家古普塔和贝尔纳普曾经指出：人们通常把悖论看作“病态的”，对它们的研究通常都以消除它们为目的；但实际上悖论的存在如月食的存在一样自然，我们必须对这类现象本身加以研究。在他们（和赫兹伯格）的理论中，悖论的周期性和初始序数等等得到了充分的研究。这可以说是开了悖论定量研究的先河。但正如前文已指出的，他们对悖论的定量研究不够充分，比如从各个悖论的周期性特征看不出悖论之间的逻辑关联。
本成果最后一部分的内容充分调动了形式真理论中真谓词构造过程中的基本要素，给出了一个统一的真谓词模式，为悖论的可描述性问题提供了一个创造性的解决方案。由此，通过悖论度的引入对悖论的悖论性做出了定量的描述，并通过对悖论度的比较建立了悖论之间的关联。这完成了形式真理论研究范式的一次转换：从侧重于真的可定义性问题转向侧重于悖论的可描述性问题。
这一转换的要害在于：对于悖论，我们不是对它们产生矛盾的原因进行解释，而是对悖论发生矛盾的条件进行量上的描述。这可比于伽利略“对科学现象进行独立任何物理解释的定量的描述”（例如，不是去解释重物为何会下落，而是给出重物自由下落的关系式d=0.5 gt2）。可以说，如同伽利略在物理学中寻求d=0.5gt2这种已被证明最有价值的知识，本成果对悖论的定量描述也是要彻底摒弃各种各样的“目的论解释”，转而去寻求说谎者悖论的悖论度与3-卡片悖论的悖论度相等，但严格地小于2-卡片悖论的悖论度这类知识。悖论研究这一新方法论对于形式真理论未来的发展具有指导性的意义。
总体上，本成果的写作既系统总结阐发了形式真理论领域中的基本理论，又及时跟进介绍了这个领域的最新发展和前沿动态，还对笔者自己的研究成果进行了总结和发展。本成果提出了一个具有前瞻性和创新性的研究课题，在国际国内学术期刊发表了相关的一系列论文，已取得具有原创性的系列成果。
本研究的若干阶段性成果取得了较大的社会影响，获得了多个学术奖项。笔者的博士论文《塔斯基定理与真理论悖论》获得第五届金岳霖学术奖（优秀博士论文）二等奖，同名专著已在科学出版社正式出版。此外，笔者有关真与悖论的系列论文获得第六届金岳霖学术奖（三等奖）、第三届洪谦优秀哲学论文奖（二等奖）、中国逻辑学会第三届优秀成果奖科研奖（二等奖）、广东省2008—2009年度哲学社会科学优秀成果奖（论文类）（二等奖）、中国逻辑学会第二届优秀成果奖科研奖（二等奖）等多个奖项，产生了积极的学术影响。
注释
[1]熊明，华南师范大学教授，博士生导师。