3.2 线性融合模型和算法

本节将考虑线性融合问题，这里的线性融合包含两方面的含义：

（1）测量方程线性。

（2）在分布式和混合式融合结构中，局部估计可以看作虚拟的观测量，对应的虚拟测量方程为线性方程。

3.2.1 线性统一模型

在多敏感器融合结构中，现有的融合算法不仅与信息类型有关，还受制于融合结构，各种融合算法需要根据信息类型和融合结构进行开发。目前描述信息统一模型的方法有两种：一种是从信息类型出发，提出信息的统一融合模型，使测量数据、先验信息和预测状态等均可用该信息的统一模型来描述；另外一种是从融合结构方面考虑，提出线性统一模型的概念，将各种融合结构统一起来，使融合算法的选择不再受融合结构的限制。这里介绍第二种方法，建立线性统一模型。

分布式和集中式融合可以看作混合式融合的特殊形式，因此本节直接考虑混合式融合结构。设混合式融合中对m个分布式融合节点和n个额外的敏感器测量值融合，记第i个分布节点的局部估计值为，误差协方差为P（i），则有

式中，i=1，2，…，m; 。

假设n个敏感器测量方程线性，由下式给出

式中，j=1，2，…，n。

将式（3-1）和式（3-2）组合在一块可以写作线性统一模型

式中，

注：

可以是先验知识，也可以是局部估计结果。

3.2.2 线性统一模型下的融合算法

由定理2.3可知，对于式（3-3）描述的线性统一模型，如果噪声满足

则x的LMMSE估计为

推论1：给定一个局部估计和观测量z满足

且有

则两者融合后的LMMSE估计为

且

式（3-10）为融合后的误差协方差。

注：

式（3-9）和式（3-10）对应的就是卡尔曼滤波的测量更新过程。

推论2：对于测量相互独立的集中式融合，且测量噪声满足

则融合后的LMMSE估计为

特别的，如果，式（3-12）可以简写作

证明：对于测量相互独立的集中式融合，式（3-3）中的分别可以写作

则根据式（3-6）即可得证。

注：

（1）式（3-13）给出的最优估计实际上是对各敏感器测量数据z（i）的加权和，权重为

如果状态向量为标量且各敏感器直接对状态进行测量，则状态量的最优融合估计为各敏感器测量值的加权平均，权重为

显然，，且式（3-16）的分子代表各敏感器的测量精度。

（2）多敏感器的LMMSE估计精度优于任意单一敏感器测量给出的LMMSE估计精度，即

推论3：对于分布式融合，如果有m个分布式融合节点且第i个分布节点的局部估计值为，误差协方差为P（i），且第i个节点和第j个节点的互协方差为

其中，则式（3-6）中的分别为

特别的，

（1）如果P（ij）=O，则式（3-6）可以简化成

（2）如果m=2，则

式（3-21）又称作Bar-Shalom Campo（BC）融合算法。

3.2.3 分布式融合中的协方差交叉算法

分布式或混合式融合的LMMSE估计需要计算互协方差（Cross-Covariance）P（ij）。但实际中，P（ij）可能未知，或者计算过程十分烦琐。为了克服这些困难，Simon Julier等人提出了协方差交叉（Covariance Intersection，CI）算法，并经过不断的发展，广泛地应用在信息融合领域中。

CI算法的优势在于：

（1）避免了互协方差的辨识和复杂计算；

（2）融合后的估计为一致估计，不发散；

（3）融合后的估计精度优于局部估计；

（4）给出了实际估计误差协方差的上界，因此不依赖于未知的互协方差，换句话说，CI算法在适应未知互协方差方面的鲁棒性更好。

在介绍CI算法之前先给出估计的一致性（consistency）定义：为x及其误差方差的估计，如果

则称具备一致性，对于滤波问题，如果估计满足一致性，则能够有效防止滤波发散。

为了叙述方便，以两个分布式节点为例对CI算法进行说明。记两个局部估计值为，误差协方差为P（1）、P（2）。在实际中，只知道P（i）的估计值（记为）。为了满足一致性，有

融合后的估计也需要满足一致性，即

CI算法对局部状态和协方差的估计进行凸组合得到全局状态和协方差估计，算法如下

式中，ω∈[0，1]为权重因子。ω的最优值可以对的迹或者行列式进行优化得到，比如

由于优化指标是关于ω的凸函数，有且仅有一个最优点，故可以采用牛顿迭代算法或其他非线性优化算法对ω进行数值求解。

定理3.2：对于任意的ω，CI算法融合后的估计满足一致性，即。

证明：CI算法融合后的真实估计误差为

其中ω1=ω，ω2=（1-ω）。因此有

首先考虑ω∈（0，1）的情况，由附录式（C-32）和式（3-23）可以得到

将式（3-29）代入式（3-28）中可以得到

因此，在ω∈（0，1）时，式（3-24）的一致性条件显然成立。当ω1=0或1时，相当于采用单个局部估计值作为全局估计值，由式（3-23）可知，一致性条件式（3-24）显然满足，从而得证。

图3-4所示为二维CI算法的1σ轮廓。如果局部估计的相关性已知，得到的全局最优估计的1σ轮廓位于局部估计1σ轮廓相交区域的内部。由图3-4可知，CI算法给出的融合估计满足一致性。

对于含有多个局部节点的分布式融合结构，CI算法由下式给出

式中，i。如果m＞2，则优化多个变量，即

这时可以采用Matlab的优化工具箱中的FMINCON、MAXDET和SPDSOL等工具进行优化。m越大，计算量也越大。为了提高计算效率和降低运算复杂度，有学者提出了序列式CI方法，基本思想是将多敏感器的CI转化成两敏感器的CI算法，具体如下：

第1步：对和进行两敏感器的CI融合，融合后的估计和误差协方差分别记为。

第2步：对和进行两敏感器的CI融合，融合后的估计和误差协方差分别记为。

依次类推。

第m-1步：对和进行两敏感器的CI融合，融合后的估计和误差协方差分别记为，则为最终融合后的估计和误差协方差。