3.1　连续系统的数学建模

3.1.1　连续系统的定义

连续系统指的是系统的状态变量随时间连续变化的系统，它的主要特征可以通过常微分方程或者偏微分方程等来描述。常微分方程描述的系统通常称为集中参数系统，它的数学模型通常是一组常微分方程，这类系统一般包括各种电路、动力学以及种群生态系统；偏微分方程描述的系统通常称为分布参数系统，它的数学模型通常是一组偏微分方程，这类系统包括工程领域内的对流扩散系统、物理领域内的流体系统等。常用的连续系统数学模型有微分方程模型、传递函数模型、状态空间模型等。

3.1.2　微分方程模型

假设系统的输入为、输出为，它们之间的关系由下列微分方程表示

式中，为常系数。

当系统输入为多个变量且满足多个微分方程时，描述系统模型的数学表达式为微分方程组。

建立微分方程模型的一般步骤为：

（1）确定系统的输入、输出变量。

（2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理、化学等定律，列写各变量之间的动态方程。

（3）消去中间变量，得到输入变量、输出变量的微分方程。

（4）标准化：将与输入有关的各项放在等号右边，与输出有关的各项放在等号左边，并且分别按降幂排列，最后将系数表示为反映系统动态特性的参数，如时间常数等。

3.1.3　传递函数模型

对式（3.1）两边取拉普拉斯变换，并假设输入变量和输出变量及其各阶导数的初值均为零，则得到

定义系统的传递函数为

则

传递函数是与系统的高阶微分方程模型紧密相关的另外一种模型表示，它表示在零初始条件下输出变量的拉普拉斯变换与输入变量的拉普拉斯变换之比。它具有以下性质：

（1）传递函数只用于线性、定常和集中参数系统。

（2）传递函数只与系统的结构参数有关，而与系统的变量无关，可以利用它来分析系统本身的一些性质。

（3）若将s看作微分算符，即，则系统的高阶微分方程模型与传递函数之间有着十分简单的相互转换关系。

（4）一般情况下，传递函数是s的有理函数，即传递函数的分子和分母均为s的多项式，分母的阶次大于分子的阶次。

3.1.4　状态空间模型

对于连续系统，式（3.1）与式（3.4）仅仅描述了系统的外部特性，只是确定了系统输入变量与输出变量之间的关系，称为系统外部模型。为了描述系统的内部特性，引入了状态变量来描述动态系统的内部特性。动态系统的状态是指能完全描述系统行为的最小的一组变量，一般用向量表示。状态向量的元素是一组独立的状态变量，它们完全决定了系统的状态。对于一个系统，其状态变量的选择不是唯一的。状态空间模型是目前使用最广泛的一类模型，状态空间表达式可以由状态方程与输出方程组成：

式中，为n维状态变量；u为r维输入向量；y为m维输出向量；A为系统矩阵；B为输入矩阵；C为输出矩阵；D为直传矩阵。式（3.5）所对应的外部模型为

建立系统状态空间方程模型的一般步骤如下：

（1）根据物理规律写出原始方程。

（2）选择状态变量，并建立关于这些状态变量的一阶微分方程组。

（3）根据微分方程组写出标准的状态方程，同时根据所选的输出变量写出相应的输出方程。

3.1.5　结构图表示

结构图就是将系统运行过程中每个元件或环节的功能以及信号流向用图来表示。特别是在控制系统中，它比较直观，且很容易将信号在各个元件之间的传递过程转换为系统的传递函数。结构图主要由四部分组成，分别是信号线、综合点、引出点和方框。

（1）信号线。信号线即带有表示信号传递方向箭头的直线。一般在线上写明该信号的拉普拉斯表达式，如图3.1所示。

（2）综合点。综合点也称为比较点或运算点，它完成两个以上信号的加减运算，以“”表示。如果输入的信号，带有“+”号，就执行加法运算；带有“-”号，就执行减法运算，如图3.2所示。

（3）引出点。在信号线上，用以表示信号引出的位置用“”表示，引出点表示同一个位置引出的信号相同，如图3.1所示。

（4）方框。方框中为元件或系统的传递函数，方框的输出变量等于方框内的传递函数与输入量的乘积（见图3.3），所以方框可以作为实现单向运算的算子。

系统结构图的建立步骤分为以下几步：

（1）建立系统各元件的微分方程组。

（2）将得到的微分方程组进行拉普拉斯变换。

（3）按照各元件的输入变量（放右端）、输出变量（放左端），对各方程进行一定的变换，并据此绘出各元件的结构图。

（4）按照系统中各变量的传递顺序，依次连接在步骤（3）中得到的结构图，并将系统的输入变量放在左端，输出变量放在右端，即可得到系统结构图。

绘出如图3.4所示的无源网络电路的结构图。

解：为输入变量，为输出变量。根据电路的相关定律，可以得到方程组

将上面的方程组进行拉普拉斯变换，得到

由式（3.8）中的第一个方程可以画出图3.5（a），由第二个方程可以画出图3.5（b），由第三个方程可以画出图3.5（c）。

根据信号传递的方向及关系，画出该无源网络电路的结构图，如图3.6所示。

3.1.6　火箭发射卫星问题建模案例

构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭发射人造卫星？

火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，只从动力系统和整体结构上分析，并且假设引擎是足够强大的，进而将问题理想化，假设：

（1）卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星在此轨道上做匀速圆周运动。

（2）地球是固定于空间中的均匀球体，其他星球对卫星的引力忽略不计。

3.1.6.1　为什么不能用一级火箭发射人造卫星？

设地球半径为R，地球质量为M；卫星轨道半径为r，卫星质量为m。根据假设（2）可知，卫星只受地球的引力，由牛顿万有引力定律可知

式中，G为引力常数。为消去常数G，把卫星放在地球表面，得

再代入式（3.9），得

根据假设（1），卫星所受到的引力就是它做匀速圆周运动的向心力，因而有

从而得到卫星能在轨道上运动的最低速度为

R为地球半径，约为6400km，若卫星距离地面的高度为600km，即，，代入式（3.12）得。也就是说，要把卫星送入离地面600km高的轨道，火箭的末速度最低应为7.6km/s。

火箭的简单模型由一台发动机和一个燃料舱组成。燃料燃烧产生大量气体从火箭末端喷出，给火箭一个向前的推力。火箭飞行要受到地球引力、空气阻力、地球自转与公转等的影响，使火箭升空后做曲线运动。为使问题简化，假设：

（1）火箭所受的重力和空气阻力忽略不计。

（2）在t时刻火箭质量为m(t)、速度为v(t)，且均为时间t的连续可微函数。

（3）从火箭末端喷出气体的速度（相对火箭本身）为常数u。

由于火箭在运动过程中不断喷出气体，其质量不断减少，记火箭在时刻t的质量和速度分别为m(t)和v(t)，有

喷出的气体相对于地球的速度为v(t)-u，由动量守恒定律有

由式（3.13）和式（3.14）可得火箭推进力的数学模型为

当t=0时，，代入式（3.15）得到火箭的升空速度为

式（3.16）表明在一定的条件下，火箭升空速度v(t)由喷发速度u及质量比决定。这为提高火箭速度找到了正确途径：从燃料上设法提高u值，从结构上设法减少m(t)。

火箭-卫星系统的质量可分为三部分：（有效负载，如卫星），（燃料质量），（结构质量，如外壳、燃料容器及推进器）。根据目前的技术条件和燃料性能，u只能达到3km/s，并且。当燃料耗尽时，火箭的最终质量为，并假设初速度，则得到末速度为

令，代入式（3.17）得

由式（3.18）可以看出，发射空壳火箭，即，火箭的末速度上限为

取，便得到火箭速度上限，因此用一级火箭发射卫星在目前技术条件下无法达到相应高度所需的速度。

3.1.6.2　理想火箭模型

火箭推进力自始至终在为整个火箭加速，然而随着燃料的不断消耗，所出现的无用结构质量也随之不断加速，做了无用功，因而效率低，浪费多。所谓理想火箭就是能够随着燃料的燃烧不断抛弃火箭的无用结构。

记结构质量在（）中占的比例为λ，假设火箭能随时抛弃无用的结构，结构质量与燃料质量以λ与（1-λ）的比例同时减少。由动量守恒定律，得

若，解得

理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为，所以最终速度为

只要m0足够大，可以使卫星达到我们希望的任意速度。考虑到空气阻力和重力等因素，估计（按比例的粗略估计）发射卫星要使v=10.5km/s才行，则可推算出约为51，即发射1t重的卫星大约需要50 t重的理想火箭。

3.1.6.3　多级火箭卫星系统

理想火箭是设想把无用结构质量连续抛弃以达到最佳的升空速度，虽然这在目前的技术条件下办不到，但它的确为发展火箭技术指明了奋斗目标。多级火箭是自末级开始，逐级燃烧，记火箭级数为n，当第i级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用mi表示第i级火箭的质量，表示有效负载。先做如下假设：

（1）设各级火箭具有相同的λ，即i级火箭中λmi为结构质量，（1-λ）mi为燃料质量。

（2）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变，并记比值为k。

先考虑二级火箭，由式（3.16）得，当第一级火箭的燃料燃烧完时，其速度为

在第二级火箭的燃料燃烧完时，其速度为

取，，对于二级火箭，欲使，由式（3.24）得

解得，此时。

类似地，可以推算出三级火箭，要使v3=10.5km/s，则(k+1)/(0.1k+1)3.21，k3.25，而（m1+m2+m3+）/77。

与二级火箭相比，在达到相同效果的情况下，三级火箭的质量几乎节省了一半。记n级火箭的总质量（包含有效负载）为m0，在相同的假设下可以计算出相应的m0 /值，如表3.1所示。

由于工艺的复杂性及每级火箭都需配备一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭在经济效益方面是不合算的，三级火箭提供了一个最好的方案。当然，若燃料的价钱低而推进器的价钱很高且制作工艺非常复杂，也可选择二级火箭。

3.1.6.4　火箭结构的优化设计

3.1.6.3节中的假设（2）有点强加的味道；现去掉该假设，在各级火箭具有相同λ的假设下，来讨论火箭结构的最优设计。

求解条件极值问题：

或等价地求解无约束极值问题：

可以解出最优结构设计应满足：

在火箭结构优化设计讨论中得到与假设（2）相符的结果，这说明前面的讨论都是有效的。