任务五梁的内力分析_工程力学-QQ阅读女频现言网

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任务五　梁的内力分析

一、梁的内力

如图3-15(a)所示,简支梁AB在荷载F和支座反力FA、FB的共同作用下处于平衡状态,用截面法分析截面n-n上的内力。

图3-15

(1)假想用截面n-n将梁分为两段。

(2)取左段为研究对象[图3-15(b)]。舍弃部分对保留部分的作用用截面上的内力代替,则内力与外力FA平衡。显然,FA有使左梁段上下移动和绕截面形心O转动的作用,因而截面上相应有与之平衡的两种内力Q、M。

剪力Q——限制梁段沿截面方向移动的内力,单位为N或kN。

弯矩M——限制梁段绕截面形心O转动的内力矩,单位为N·m或kN·m。

(3)由梁段的平衡条件

若研究右梁段的平衡,可得同样结果,如图3-15(c)所示。

为了取不同的研究对象计算同一截面的内力时数值和符号均相同,梁的内力符号规定为：

剪力Q：使截面邻近的微梁段有顺时针转动趋势的剪力为正值,反之为负值[图3-16(a)]。

弯矩M：使截面邻近的微梁段产生下边凸出,上边凹进变形的弯矩为正值,反之为负值[图3-16(b)]。

图3-16

【例3-4】　已知简支梁AB如图3-17(a)所示。求距左端支座2m处截面上的内力。已知F1＝20kN,F2＝40kN。

解：(1)求支座反力。由整体的平衡条件得

(2)用截面法求内力。截取截面左段梁为研究对象,画受力图如图3-17(b)所示,为便于判断计算结果,图中未知内力都按符号规定的正向假设。由左段梁平衡条件得

计算结果均为正值,实际内力方向如图3-17(b)、(c)所示。

由以上计算结果可见,由梁上外力可直接计算截面上的内力。

(1)梁任一横截面上的剪力,在数值上等于该截面一侧梁段上所有外力在截面上投影的代数和,即Q＝∑FiQ。

(2)梁任一横截面上的弯矩,在数值上等于该截面一侧梁段上所有外力对截面形心力矩的代数和,即M＝∑MO(FiQ)。

由外力直接判断内力符号的方法如下：

(1)对截面产生顺时针转动趋势的外力(截面左侧梁上所有向上的外力或截面右侧梁上所有向下的外力)在截面上产生正剪力；反之产生负剪力,如图3-18(a)所示。

图3-17

图3-18

(2)使梁段产生下边凸出、上边凹进变形的外力(截面两侧梁上均为向上的外力,使梁产生左侧截面顺时针、右侧截面逆时针的外力矩)在截面上产生正弯矩；反之产生负弯矩,如图3-18(b)所示。

直接由外力计算截面内力时,先看截面一侧有几个外力,再由各外力方向判断产生内力的符号,最后计算各项代数和确定截面内力。

【例3-5】　简支梁上作用集中力F＝1kN,集中力偶m＝4kN·m,均布荷载q＝10kN/m,如图3-19所示。试求截面1-1和截面2-2上的剪力和弯矩。

图3-19

解：(1)求支座反力。由整体的平衡条件,可得

(2)求内力。

截面1-1左侧外力为

截面2-2右侧外力为

【例3-6】　外伸梁受荷载作用如图3-20所示。图中截面1-1、截面2-2分别无限接近于截面A的左侧、右侧,截面3-3、截面4-4分别无限接近于跨中截面的左侧、右侧。试求图示各截面的剪力和弯矩。

图3-20

解：(1)求支座反力。取整体为研究对象,由

校核：∑Fy＝FA＋FB-F＝1.25F-0.25F-F＝0,计算无误。

(2)计算指定截面的剪力和弯矩。由截面左侧梁段上外力计算：

由截面右侧梁段上外力计算：

比较截面1-1、截面2-2的内力：

可见,在集中力左右两侧截面上,弯矩相同,剪力发生突变,突变值等于该集中力值。

比较截面3-3、截面4-4的内力：

可见,在集中力偶左右两侧横截面上,剪力相同,弯矩发生突变,突变值等于该集中力偶的力偶矩。

由此可知,计算集中力和集中力偶作用截面的内力时,须分别计算该截面两侧相邻截面的内力。

【例3-7】　试求图3-21所示外伸梁C、A、E、B、G各截面上的内力。已知F＝3kN,q＝1kN/m,m＝6kN·m。

图3-21

解：(1)求支座反力。

(2)计算各截面内力。

二、剪力图和弯矩图

进行梁的强度和刚度计算时,除需要计算指定截面的内力外,还必须了解剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律,并确定最大内力值及其作用位置。由梁横截面的内力计算可知,一般情况下,梁在不同截面上的内力是不同的,即梁各截面的内力是随截面位置而变化的。若取梁轴线为x轴,坐标x表示各截面位置,则梁各截面上的剪力和弯矩均为x坐标的函数：

此函数关系即内力方程,分别称为剪力方程和弯矩方程。为使内力方程形式简单,可任意选定坐标原点和坐标轴方向。

为了直观地显示梁各截面剪力和弯矩沿轴线的变化规律,可绘出内力方程的函数图形,称为剪力图和弯矩图。其绘图方法与绘轴力图和扭矩图相仿,以平行梁轴线的横坐标x表示各横截面位置,以垂直梁轴线的纵坐标表示各横截面的内力值,选适当比例绘图。

在土建工程中规定：正值的剪力画在轴线上方,负值的剪力画在轴线下方；正值的弯矩画在轴线下方,负值的弯矩画在轴线上方,即弯矩图画在受拉侧,一般可不标正、负号。

绘制梁的内力图的基本方法是首先列出梁的内力方程,然后根据方程作图。这种绘梁内力图的方法可称为方程式法。下面举例说明。

【例3-8】　悬臂梁在自由端作用集中荷载F,如图3-22(a)所示。试绘制其剪力图和弯矩图。

图3-22

解：(1)建立剪力方程和弯矩方程。将坐标原点取在梁左端A点,截取任意截面x的左段梁为研究对象,由平衡条件分别列出该截面的剪力和弯矩的函数表达式,即该梁段的剪力方程和弯矩方程。

(2)绘剪力图和弯矩图。由式(a)可知,剪力函数为常量,该梁的剪力Q不随截面位置而变化。取直角坐标系xAQ,选适当比例尺,画出梁的剪力图为平行于x轴的水平线,因各截面剪力均为负值,故剪力图画在轴下侧,并注明负号[图3-22(b)]。

由式(b)可知,弯矩M为x的一次函数,故弯矩图为一条斜直线。一般由梁段两端的弯矩值来确定该直线：在x＝0处,MA＝0；在x＝l处,MB＝-Fl。取直角坐标系xAM,选适当比例绘弯矩图。因M为负值,按规定M图画在轴上侧,可不注负号[图3-22(c)]。

(3)确定内力最大值。由图可见：|Q|max＝F,发生在全梁各截面；|M|max＝Fl,发生在固定端截面上。

内力图特征为：无荷载作用的梁段上,剪力图为水平线,弯矩图为斜直线。

【例3-9】　简支梁受集度为q的均布荷载作用,如图3-23(a)所示。试作其剪力图和弯矩图。

图3-23

解：(1)求支座反力。由结构和外力的对称性,可知两支座反力相等,即

(2)建立剪力方程和弯矩方程。坐标原点取在A端,根据任意截面x左侧梁段外力直接求截面内力：

(3)绘剪力图和弯矩图。由剪力方程(a)可知,剪力为x的一次函数,剪力图为斜直线。在x＝0处,QA＝0.5ql；在x＝l处,QB＝-0.5ql。选合适比例定两点作剪力图[图3-23(b)]。注明正负号,可不画坐标轴。

由弯矩方程式(b)可知,弯矩为x的二次函数,弯矩图为二次抛物线,确定曲线至少需要三个点。在x＝0处,MA＝0；在x＝l处,MB＝0；在x＝0.5l处,MC＝。选合适比例在受拉侧作弯矩图[图3-23(c)]。M图上有极值点。由弯矩函数的一阶导数(剪力函数)为零确定极值点位置,再代入弯矩方程求出M极值。如本题,由M'(x)＝0.5ql-qx＝0,得x＝0.5l,代入弯矩方程,得,在跨中截面。