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2.3.2 电感元件的正弦交流电路
图2.5所示为电感元件L的单一参数正弦交流电路。流过电感L的电流为正弦交流电流i,其两端的电压为u。这里,令正弦交流电流i的表达式为
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图2.5 电感元件的正弦交流电路
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对于电感L,如果电压u和电流i的参考方向如图2.5所示,即u和i的参考方向关联,则有
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式(2.57)称为电感L上电压和电流的瞬时表达式。
下面对电感L,根据u和i的瞬时表达式,推导出对应电压相量和对应电流相量
之间的表达式。
将式(2.56)代入式(2.57)可得
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可见,在正弦量i的激励下,响应u也是正弦量。根据正弦量i和u的表达式,见式(2.56)和式(2.58),可分别写出它们的相量式:
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将电压相量除以电流相量
得
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这里,令XL=ωL,称XL为电感L的感抗,并称jXL为电感L的复感抗。感抗XL的国际单位为Ω。所以相量和相量
的关系可表达为
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式(2.61)称为电感L上电压和电流的相量表达式。
根据u和i相量表达式关系,见式(2.61),容易得出如下结论:
1)电感上,电压有效值U和电流有效值I的关系为
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因为(jXL)=IXL∠(ψ+90°),根据相量的定义可知,电压u的有效值为U=IXL,电压u的初相为ψ+90°。根据正弦电流i的表达式可知,电流i的初相为ψ。于是,正弦电压u的初相减去正弦电流i的初相为90°,于是得出第二条结论。
2)电感上,电压u超前电流i相位90°,或称相量超前相量
相位90°,其相量关系示意图如图2.6所示。
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图2.6 电感上电压相量和电流相量的方向示意图
对于感抗XL=ωL,它表明了电感元件对通过它的电流的阻碍作用,此作用与交流电的频率密切相关。值得一提的是,前面提到直流电可以看成是频率为0的特殊正弦交流电,所以在直流电路中,电感的感抗XL=0,这表明电感对电流没有阻碍作用,其表现就像电感处的电路短路了一样。如果电感在正弦交流电路中,则随着频率f的增大,感抗XL也将越来越大,也即对电流的阻碍作用越来越强。这表明,电感具有俗称的“通直隔交”的作用。
【例题2.2】在图2.7所示正弦交流电路中,已知正弦电压u=220sin(100πt+30°)V,电感系数L=0.127H。求电感上电流i的瞬时值表达式,并画出电压u和电流i的相量图。
解答:
1)计算电感的感抗:
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2)根据电感上电压和电流的相量表达式可得
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3)根据相量与正弦量的关系,写出电流i的表达式:
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4)画出相量和
的关系图,如图2.8所示。
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图2.7 电感正弦交流电路例题
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图2.8 电感正弦交流电路例题相量图