3.1 声场的基本理论

声波传播的空间称为声场。为了进一步定量研究声波的各种性质，需要确定用什么物理量来描述声波过程。由于连续介质可以看作是由许多紧密相连的微小体积元dV组成的物质系统，所以体积元内的介质就可以当作集中在一点、质量等于ρdV的“质点”来处理。ρ为介质的密度，是随时间和坐标不同而变化的量，因此这个质点的质量是可以变化的。我们主要讨论平衡状态下的物质系统内的声学现象，在平衡时系统可用体积V₀、压强P₀及温度T₀等状态参数来描述。如在有声波作用时，在组成介质的微粒的杂乱运动中附加了一个有规律的运动，使得体积元内有时流入的质量多于流出的质量，有时反过来。即体积元的介质一会儿稠密，一会儿稀疏。而从介质整体来看，即是介质中的物质在发生有规则的波动，这样的变化过程可用体积元内压强、密度、温度及质点速度等的物理量来描述。

设由于声波的存在，而使介质产生压力的变化，介质中出现的逾量压强称为声压p。声压p显然等于声场中任意一点在某一时刻的压强P与声波不存在时同一点的静压强P₀之差：

当声波传播时，在同一时刻，不同体积元内的压强P都不同；对同一体积元，其压强P又随时间而变化，所以声场中每一点的声压将随时间和空间而变化，因此有

由于声波是介质质点振动的传播，所以介质质点的振动速度自然也是描述声波的合适的物理量之一。但由于声压的测量比较容易实现，通过声压的测量也可以间接求得质点速度等其他物理量，因此声压已成为目前最为普遍采用的描述声波性质的物理量。

下面给出理想、均匀、静止流体介质中小振幅波的波动方程：

式中，c为声速；∇²为拉普拉斯算子，对于不同的坐标系具有不同的形式，而坐标系的选择将根据具体问题而定：

在直角坐标系中有

在球坐标系中有

式中，r为球半径；φ为方向角；θ为极角。

在柱坐标系中有

式中，r为圆柱半径；φ为方向角；z为轴向坐标。

式（3-3）反映了声压p（x,y,z,t）随空间（x,y,z）和时间t的变化的时间空间联系。物理量的这种时空变化关系反映了它的波动性质，因此将偏微分方程（3-3）称为波动方程。

由声压波动方程可以解出声压函数p（x,y,z,t），并利用运动方程求出质点振速：

对于式（3-7），不难发现恒有

式中，rot为旋度算符，它作用于速度就可得到

此式也说明了理想流体介质中小振幅声场是无旋的。

由式（3-7）积分求往往是不方便的，因此引入速度势函数。从矢量分析知识可知，如果某一矢量的旋度等于零，则这一矢量必为某一标量函数的梯度，而这一矢量的分量则是该标量函数对相应坐标的偏导数。现由于ro=0，因此速度必为某一标量函数的梯度，即

式中，Ψ为声速度势函数，在不同的坐标有不同的表达式：

直角坐标中有

球坐标中有

柱坐标中有

将式（3-7）和式（3-10）对时间微分，消去可得到

可以证明声速度势函数Ψ也具有波动方程的形式：

由于速度势Ψ像声压一样也是一个标量，所以用它来描述声场是很方便的。只要从波动方程（3-15）中解出Ψ，便很容易从式（3-10）和式（3-14）中求出质点振速和声压p。