1.2.2 序参数与连续弹性体理论

为了解释液晶相的发生和它的性质，已经有多种理论被提出，有从微观角度出发的，也有从宏观角度出发的。这里主要介绍序参数和连续弹性体理论。

1.序参数

因为液晶分子排列的取向有序性直接影响到它的一些重要性质，如折射率、介电常数等，所以必须引进一个参数来描述这个分子取向有序性的程度，这个参数叫作序参数。

通常，液晶分子排列会因为分子热运动而引起混乱。热运动会使分子不停地变化方向和位置，分子大致沿某一从优方向排列，这个方向称为指向矢n。指向矢的两个方向和是等价的。

假设将任意一瞬间的分子团定格拍摄下来，分子长轴和指向矢的夹角示意图如图1-8所示。

如果任意一瞬间所有分子都完全整齐排列，即所有分子长轴与指向矢的夹角都为零，那么它们的取向有序性最大，即平均角度为零。反之，平均角度为零并不代表这一时刻的所有分子都完全整齐排列，可能它们的排列是各个方向都有，只不过平均值正好为零。因此，不能使用平均角度来衡量分子排列的有序性。需要引入一个序参数S来衡量分子排列的有序性：

式中，θ是分子长轴与分子长轴平均取向的夹角。（3cos2θ-1）表示（3cos2θ-1）的统计平均值：

式中，f（θ）表示全部液晶分子角度的统计分布。积分表示在立体角sinθdθ内绕分子长轴的那一部分分子的和。

对于完全取向有序，S=1；对于完全没有取向有序，S=0。液晶序参数的典型值范围是0.3～0.9。随温度的上升，序参数减小。

液晶还具有位置有序性，如在层状相中，分子质量中心的平均密度沿层的法线方向z的变化为

式中，ψ表示分子排列的位置有序性。ψ=0，无位置有序性；ψ越大，位置有序性越大。

2.连续弹性体理论

液晶的连续体理论是由弗兰克（F.C.Frank）提出来的，并把它表示成曲率弹性理论。它是一种宏观理论，不考虑分子尺度范围内的结构细节，而把液晶看成一种连续介质。因为液晶中描述分子取向的指向矢在外场作用下可以改变它的取向，而在外场移走后，由于分子间的相互作用，它又会弹性地恢复到它的原先取向。液晶所有的形变可以用三种基本类型的形变来描述，即展曲（splay）、扭曲（twist）和弯曲（bend），如图1-9所示。弹性常数分别为K₁₁、K₂₂、K₃₃。

如果选择一个坐标系（x₁，x₂，x₃）来描述空间某点处的指向矢，并让原点处的指向矢沿x₃轴，设指向矢的形变随位置的变化是缓慢和连续的，则以上三种基本形变可以用指向矢的微分来描述。

展曲形变：

扭曲形变：

弯曲形变：

连续弹性体理论讨论的是在外场作用下液晶平衡态的变化，即液晶中指向矢的变化情况。因此，必须引进一个与指向矢的形变有关的自由能，通过求解自由能的最小值，发现在外场作用下相应的新的平衡态。

在小形变的条件下，液晶中单位体积的自由能，即自由能密度F，可以用指向矢变化量的一阶项或（和）二阶项的函数来表示，而忽略高阶项。从唯象的观点出发并考虑到液晶中存在的各种对称性，可以得出向列相液晶的自由能密度F为

对于螺旋状相液晶，需要增加一项与天然螺距有关的项，变成

式中，k₂是描述分子自发扭曲的弹性常数，其正负号表示螺旋状相液晶不同的螺旋旋转方向。

式中，P为螺距。

对于近晶相，层状结构限制了它的形变类型。假设层是不可压缩的，则有。这说明在层状A相中只能产生展曲形变，而不能产生扭曲形表和弯曲形变。