第五章 向量代数与空间解析几何

第一节　向量及其线性运算

一、内容提要

1．向量概念

向量的定义：既需要大小表示，同时还要指明方向的量．

向量的表示：有向线段来表示向量，记作，a，b，F或等．

自由向量：与起点无关的向量．

向量相等：如果向量a与b的大小相等且方向相同，则称向量a与b相等．记为a＝b．

向量的模：向量的大小称为向量的模．

单位向量：模等于1的向量．

零向量：模等于零的向量．

平行向量：如果两个非零向量a与b的方向相同或相反，则称这两个向量平行．

负向量：与向量a的模相等而方向相反的向量，称为a的负向量，记为－a．

向量共线：当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共起点应在同一条直线上．因此，两向量平行，又称为两向量共线．

向量共面：设有k（ k≥3）个向量，当把它们的起点放在同一点时，如k个终点和公共起点在一个平面上，则称这k个向量共面．

向量夹角：设两非零向量a，b．任取空间一点O，作规定不超过π的∠AOB（设θ＝∠AOB，0≤θ≤π）称为向量a与b的夹角．

2．向量的线性运算

向量的加法：设有两个向量a，b，任取一点A，作，再以B为起点，作连接AC，则向量称为向量a与b的和，记作a＋b，即c＝a＋b．

向量的减法：向量b与a的差就是向量b与－a的和．

向量的数乘：实数λ与向量a乘积记作λa，λa是按下面规定所确定的一个向量：

（1）λa＝λa．即向量λa的模是向量a的模的λ倍．

（2）当λ＞0时，向量λa与向量a方向相同；当λ＜0时，向量λa与向量a方向相反；当λ＝0时，向量λa＝0．

特别的，当λ＝±1时，有1·a＝a，（－1）a＝－a．数与向量的乘法简称为向量的数乘．

二、基本要求

1．理解向量的概念及其表示．

2．掌握向量的线性运算．

三、疑难解析

1．设a、b为非零向量，则a、b在什么条件下，下列式子成立？

（1）a＋b＝a－b；（2）a＋b＞a－b；（3）a＋b＜a－b．

答：以a、b为边作平行四边形，则a＋b，a－b表示该平行四边形两条对角线的长度，通过观察可知：当a与b之间的夹角为直角时，有a＋b＝a－b；当a与b之间的夹角为锐角时，有a＋b＞a－b；当a与b之间的夹角为钝角时，有a＋b＜a－b．

2．向量之间能比较大小吗？

答：不能，向量是既有大小又有方向的量，而方向无所谓大小，在向量的描述中所讲的“既有大小”是指向量的模的大小．

四、典型范例

例1　在四边形ABCD中．

 证明：ABCD为梯形．

分析：要证明四边形为梯形，只需找到一组对边平行且不相等．

证　由图5—1知，

所以边AD与边BC平行且长度是BC长度的两倍，即证四边形ABCD为梯形．

例2　把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D₁，D ₂，D₃，D₄，再把各分点与点A连接，试以表示向量

解　如图5—2所示

图5—1

图5—2

五、习题选解

1．用向量法证明：连结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半．

证　设△ABC两边AB，AC的中点分别为M，N（见图5—3）

2．要使a＋b＝a－b成立，向量a，b应满足a⊥b；

要使a＋b＝a＋b成立，向量a，b应满足a与b同向．

图5—3

3．设△ABC的三条中线为AD，BE，CF．证明

4．设两个非零向量b与a共起点，求与它们的夹角的平分线平行的向量．

解　　取单位向量与角平分线平行，所以所求向量为