扩大乘法的概念

数字相乘，或许是一个让我们习以为常抑或望而却步的概念，但不管怎样，我们都认为这是一个理所当然的概念。然而，我们也许不应该把某些东西视为理所当然，而是应该深入思考它真正的含义和运作规律，有时候我们能从中得到意想不到的收获。当然并非事事如此，有时候我们也会因此而陷入思维僵化，比如殚精竭虑地思考人生的意义。但是如果我深入思考，比如我的舒适区，我肯定会受益良多，我可以扩大我的舒适区，而不必觉得只能通过走出舒适区来规避风险。

我们将要深入思考数字的乘法，这样才能进一步了解其他东西的乘法，比如图形，从而扩大乘法的范围。数学家不断地推进乘法的概念，已经逐渐形成了一整套理论，包括什么情况下可以让某些事物相乘。抽象数学家对各种数学概念都会采用这样的研究方式，而不仅仅是算术。

当把数字相乘时，我们或许会认为4×2是“4个2”，也就是2+2+2+2。我们先取两个筹码，再取两个，再取两个，再取两个，之后加总看看一共有多少个。

看起来这也完全适用于数字与图形相乘，因为“4×圆”就是“4个圆”，但是图形与图形相乘就说不通了。如果我们让一个圆与一个正方形相乘，“圆个正方形”究竟是什么意思？其实，如果我们对乘法的概念做出一些扩展解释，充分利用想象力，图形相乘还是有一定的意义的。方法之一是重新思考4×2的含义。这一次我们先把两个筹码放在第一列，然后沿水平方向将其“复制”4次，形成一个4×2的矩阵：

借助想象力，我们就可以让一个圆与一个正方形产生同样的互动——我们挥舞一个正方形，让它沿圆形的轨道移动，并在移动过程中不停地自我复制。在纸上画出最终的结果有些困难，但我们可以借用其他图形来说明这个过程，比如一条线与一个圆。我们让一个与水平垂直的圆沿一条直线不停地复制自身，就得到了一个圆筒。

反过来也可以，我们在空中沿圆形轨道挥舞一条直线，最终也会得到一个圆筒。（不管怎样我们都要确保一个图形移动的方向与另一个图形垂直。）这就像用两种不同的手法编织毛衣袖子：我们可以用圆针一圈又一圈地编织，直到形成一个圆柱形的袖筒；或者我们可以用普通针先织出一个矩形，然后把两个长边缝起来，形成一个袖筒。（我知道一边要比另一边宽，这样才是一只美观、合用的袖子，但我相信你能明白我的意思。）

这个概念的确有些模糊，但大致描述了我们对“图形相乘”的理解。上面的描述可以汇总为：

或

因此我们可以得出

类似于我们熟知的

也就是所谓的“乘法交换律”。这个例子告诉我们，我们可以沿用研究数字的方法来研究图形。稍后我们会进一步讨论更多的情形，包括如何理解不同世界的基本构成要素。

既然我们已经知道如何把图形纳入逻辑研究，我们就可以想到研究图形的更多方法，在螺旋楼梯上再上一层楼。