第三节 直线的投影
一、直线的投影
一般情况下，直线的投影仍然为直线，特殊情况下，它的投影可积聚为一点，如图2-11所示。对于直线的投影，一般都是作出它的两个端点的投影，然后连接两点的同面投影，即得直线的投影。
图2-11 直线的投影
（一）一般位置直线
所谓一般位置直线，是指直线既不是投影面的平行线，也不是其垂线；反之，则称为特殊位置直线，即包括投影面平行线和垂线。图2-12表示一般位置直线AB的三面投影。由于一般位置直线对三个投影面都倾斜，所以具有下列投影特性：三个投影都倾斜于投影轴且都小于实长，三个投影与投影轴的夹角不反映直线对投影面的倾角。α、β、γ分别表示直线AB与H面、V面和W面的倾角，则直线AB的三面投影长度与倾角的关系为：
ab=ABcosα，a'b'=ABcosβ，a″b″=ABcosγ。
图2-12 一般位置直线的投影
（二）投影面平行线
平行于某个投影面，同时倾斜于另外两个投影面的直线，统称为投影面的平行线。按所平行的投影面不同，它又可以分为三种。
正平线——平行于V面，并与H、W面倾斜的直线。
水平线——平行于H面，并与V、W面倾斜的直线。
侧平面——平行于W面，并与H、V面倾斜的直线。
投影面平行线见表2-1所示。
表2-1 投影面平行线
投影面的平行线投影特性如下所示。
（1）直线在所平行的投影面上的投影反映实长，并且它与两投影轴的夹角就是直线与相应投影面的倾角。
（2）直线在另外两个投影面的投影都小于空间线段的实长，并且平行或垂直于相应的投影轴。
（三）投影面垂直线
垂直于某个投影面的直线，并且与其他两个投影面平行，称为投影面垂直线。按所垂直的投影面不同，它又可以分为以下三种。
正垂线——垂直于V面，并与H、W面平行的直线。
铅垂线——垂直于H面，并与V、W面平行的直线。
侧垂线——垂直于W面，并与H、V面平行的直线。
投影面的垂直线投影图见表2-2。
表2-2 投影面的垂直线
投影面垂直线投影特性如下所示。
（1）直线在所垂直的投影面上的投影，积聚为一个点。
（2）直线平行于另外两个投影面上的投影，垂直于相应的投影轴，且反映实长。
实际上，投影面垂直线是特殊的投影面平行线。
（四）求一般位置线段的实长和倾角
一般位置线段的投影既不反映线段的实长，也不反映线段对投影面的倾角。若要求一般位置线段的实长及倾角，可采用直角三角形法。
分析与作图：图2-13空间直线AB和其水平投影ab构成一个垂直于H面的平面ABba，过B作Bb⊥ba，AC⊥BC，则得直角三角形ABC，其中斜边AB为实长，直角三角形BC⊥ab，则另一直角边BC=ZB-ZA，即AB两点的Z坐标差，斜边与直角边AC的夹角即为直线对H面的倾角。这种利用直线的某一投影及坐标差构成的直角三角形求线段实长的方法统称为直角三角形法。作图过程如下所示。
图2-13 直角三角形法求线段实长及倾角
以水平投影ab为一直角边，以AB直线的Z坐标差为另一直角边，则斜边即为直线的实长，斜边（实长）与投影长（ab）的夹角又为直线对H面的倾角。
二、直线上点的投影
直线与点的相对关系有两种情况：点在直线上和点不在直线上。
如果点在直线上，则其投影必在该直线的同面投影上，且符合点的投影规律。如图2-14点C在直线AB上，则点C的三面投影c、c'、c″符合点的投影规律。
直线上的点分割直线之比，在投影后保持不变。如图2-14所示，投射线Aa'//Cc'//Bb'，Aa//Cc//Bb，Aa″//Cc″//Bb″，即：
AC∶CB=ac∶cb=a'c'∶c'b'=a″c″∶c″b″。
图2-14 直线上点的投影
由此可见，如果点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上，且点分线段之比等于点的投影分线段投影之比。反之，如果点的各投影均在直线的同面投影上，且分直线各投影长度成相同之比，则该点必在此直线上。该特性也称为线段上的点分割该线段的定比性。
例2-1 如图2-15所示，求作线段AB上点C，使ac∶cb=1∶2。
图2-15 点分割线段的投影
分析与作图：根据定比性，ac∶cb=a'b'∶c'b'=1∶2，只要将ab或a'b'分成3（即1+2）等份即可求出c和c'。作图步骤如下所示。
（1）自a引辅助线aB0；
（2）在aB0上截取三等份；
（3）连3、b，过1作3b的平行线得c=1c∩ab；
（4）由c求出c'。
三、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置有三种情况：平行，相交和交叉（异面直线）。下面分别阐述两直线平行、交叉和相交的投影特性。
（一）平行两直线
如图2-16所示，空间两直线AB、CD相互平行，由于将两直线向H面投影时所形成的两平面ABab、CDdc是相互平行的，则ab//cd。同理，a'b'//c'd'，a″b″//c″d″。因此，可得出平行两直线的投影特性：若空间两直线相互平行，则其同面投影仍平行；反之，若两直线的同面投影均平行，则两直线在空间平行。若要在投影图上判断两条直线是否平行，需要看它们的其他两个同面投影是否平行。
图2-16 平行两直线投影
互相平行的两直线，如果垂直于同一投影面，则它们在与之垂直的投影面上的投影积聚为两点，两点之间的距离反映两直线在空间的真实距离。
（二）相交两直线
相交两直线有如下投影特性：两相交直线的同面投影必相交，且交点符合点的投影规律。交点将两直线分别分成定比线段，在各自的投影上也分成相应的同定比线段。反之，如果两直线的各同面投影都相交，且各投影的交点符合点的投影规律，则此两直线在空间必相交，如图2-17所示。
图2-17 相交两直线投影
例2-2 如图2-18所示，已知K为直线AB和CD的交点，求AB的正面投影a'b'。
分析与作图：交点为两直线所共有，且符合点的投影规律，据此可求得k'；B、K、A同属一条直线，据此可求出b'，从而求得a'b'。具体作图步骤如下：
（1）过k作OX轴的垂线，交c'd'于k'；
（2）连接a'k'并延长；
（3）过b作OX轴的垂线并延长，交a'k'延长线于b'，a'b'即为所求。
图2-18 相交直线点的投影
（三）交叉两直线
在空间中既不平行也不相交的两直线成为交叉两直线，即异面两直线。如图2-19所示。交叉直线有如下投影特性：交叉两直线的投影可能会有一组或两组互相平行，但是交叉两直线的三组同面投影绝不会同时平行。若一组直线的一面投影为平行线，则一定要检查所有投影面上的投影是否相互平行；如果其他两组都平行，则该组直线为平行直线，反之如果不平行，则一定为交叉直线。
交叉两直线的投影可以相交，但是投影的交点绝不会符合空间同一点的投影规律，两交叉直线投影的交点实际上是两直线对投影面的重影点。由图2-19可以看出，Ⅰ、Ⅱ为对H面的重影点，H面投影2比1靠上，所以属于CD直线的Ⅱ点是可见的，属于AB直线Ⅰ点是不可见的；Ⅲ、Ⅳ为对V面的重影点，因其V面投影3'比4'靠前，所以Ⅲ点可见，Ⅳ点不可见。
图2-19 交叉两直线投影
如何判别两条直线是交叉直线呢？只要空间中两直线既不平行也不相交，则必定为交叉两直线。据此，可分别作出两条直线的三面投影，判别是其是否既不平行也不相交，即可判断是否为交叉直线。
（四）垂直两直线
若两直线垂直相交（交叉），其中有一条直线平行于某一投影面时，则此两直线在该投影面上的投影互相垂直。反之，若相交（交叉）两直线在某一投影面上的投影互相垂直，有一条直线平行于某一投影面时，则此两直线在空间也一定互相垂直。如图2-20所示，BC为平行于H面的直线，AB为一般位置直线，AB⊥BC，则ab⊥bc。
图2-20 垂直两直线投影
例2-3 如图2-21所示，求点A到正平线BC的距离AD及其投影。
图2-21 点到直线距离的投影
分析与作图：点A到AB的距离AD⊥BC，因为BC为正平线，所以在正面投影上能反映直角关系。作图步骤如下：
（1）由a'作a'd'⊥b'c'，d'为垂足；过d'作XO的垂线交bc于d点，连接ad；
（2）使用直角三角形法求出AD的实长。