第四节　平面的投影

一、平面的表示法

投影在空间位置可用两种方法来表示：一是几何元素表示法，二是迹线表示法。各表示方法如下所述。

（一）几何元素表示法

由几何知识可知，不在同一直线上的三点可以确定一个平面。因此，在投影上可以用下列任一组几何元素的投影表示平面：①不属于同一直线的三点，如图2-22（a）所示；②一直线和直线外一点，如图2-22（b）所示；③相交两直线，如图2-22（c）所示；④平行两直线，如图2-22（d）所示；⑤任意平面图形，如三角形、四边形、圆形等，如图2-22（e）所示。以上几种确定平面的方法是可以相互转化的，他们之间只是形式上的变化，表示的仍然是空间的同一个平面，并且以平面图形表示平面最为常见。

（二）迹线表示法

平面与投影面的交线称为平面的迹线。如图2-23中的平面P，它与H面的交线称为水平迹线，用PH表示；与V面的交线称为正面迹线，用PV表示；与W面的交线称为侧面迹线，用PW表示。

迹线具有双重性。迹线既是投影面内的一条直线，也是某个平面上的一直线。如图2-23（a）中的PH既是H面上又是P平面上的一条直线，由于迹线在投影面内，便有一个投影和它本身重合，另外两个重影与相应的投影轴重合。如图2-23中的PH，其水平投影与PH重合，正面投影和侧面投影分别与X轴和Y轴重合，一般不再标记。在投影图上，通常只将迹线与自身重合的那个投影画出，并用符号标记。这种迹线表示的平面称为迹线平面。

一、各种位置平面及投影特性

在三投影面体系中，平面对投影面的相对位置分为三类：一般位置平面，对H、V、W投影面均倾斜；投影面垂直面，只垂直于一个投影面的平面；投影面平行面，只平行于一个投影面的平面。后两类平面又叫特殊位置平面。

（一）一般位置平面

对三个投影面既不垂直也不平行的平面称为一般位置平面，投影图如图2-24所示。一般位置平面在三个投影面上的投影既不反映实形，也不反映平面对投影面的倾角。

（二）投影面垂直面

垂直于某一个投影而倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直面。投影面垂直面根据他们所垂直的某一投影面的位置来命名。与正面垂直的平面叫正垂面，与水平面垂直的平面叫铅垂面，与侧面垂直的平面叫侧垂面，如表2-3所示。

投影面垂直平面的投影特性有如下两点。

（1）在所垂直的投影面上的投影积聚成一条直线，且与该投影面的两个投影轴都倾斜，在另外两个投影面上的投影反映类似形。

（2）在所垂直的投影面上的投影直线与该投影面上两个投影轴的夹角，分别反映该平面对相应投影面的夹角。

（三）投影面平行面

平行于某一个投影面而垂直于其他两个投影面称为投影面平行面。投影面平行面根据他们所平行的某一投影面的位置来命名。平行于正面投影的平面叫做正平面，平行于水平面投影的平面叫做水平面，平行于侧面投影的平面叫侧平面。如表2-4所示，投影面平行平面的投影特性有如下两点。

（1）在所平行的投影面上反应实形。

（2）在另外两个投影面上分别积聚成一条直线，并且平行于相应的投影轴。

三、平面上的直线和点

（一）平面上的直线

如果直线在平面上，则该直线必经过平面上的两个点，或者通过平面上一点，且平行平面上的一条直线。

如图2-25所示，相交直线AB与BC构成一平面，在AB、BC上各取一点M和N，则过M、N两点的直线一定在该平面内。其投影图作法如图2-25（b）所示。

（二）平面内取点

点在直线上，则该点必在平面内的某一直线上。因此，若在平面内取点，可先在平面上取一条直线，然后在直线上取点。如图2-26所示，点L既在直线AB上，又在直线LK上，因此点L必在该相交直线确定的平面内。

例2-4　已知点K在平面ABC上，且知其正面投影k'，求它的水平投影k（见图2-27）。

分析与作图：因为K点在平面ABC上，所以过K点连接平面上点A，则点M必在平面ABC上。作图步骤如下：

（1）连接a'k'，与b'c'相交于m'；过m'作XO的垂线，交bc于m点；

（2）连am并延长，依投影关系求出k。

例2-5　已知四边形ABCD为平面图形，按图2-28所给条件，补全其正面投影。

分析与作图：四边形ABCD与△ABC属同一平面，点D可看作是该面内一点，用上例所示方法，即可求得d'，进而作出四边形ABCD的正面投影。作图步骤如下。

（1）连AC的同面投影a'c'、ac；

（2）连接bd得到与ac的交点k，依据点的投影关系作出k'；

（3）连b'k'并延长，依投影关系求出d'；

（4）连a'b'c'd'，即得到平面ABCD的投影。