第五节 直线与平面、平面与平面的相对位置
直线与平面、平面与平面的位置只有两种可能：平行与相交，在相交中还包含着一种特殊情况——垂直。本教材分平行、相交、垂直三种情况进行讨论。
一、直线与平面的位置
（一）直线与平面平行
如果直线与平面上的某一直线平行，则此直线与该平面互相平行。根据几何条件及两直线平行的投影性质，我们就能解决其作图问题。
例2-6 如图2-29所示，已知△CEF和直线AB，判断直线AB和△CEF是否平行。
图2-29 直线与平面平行的判断
分析与作图：根据能否在△CEF上作出与AB平行的直线，即可进行判断。作图步骤如下所示。
（1）在△CEF上作一辅助线CD // AB。先作出cd // ab，再作出CD的正面投影c'd'；
（2）判断c'd'与a'b'是否平行。因为c'd'与a'b'不平行，则CD与AB不平行，所以直线AB与△CEF不平行。
例2-7 已知直线AB及点C，过点C作平面平行于AB（见图2-30）。
图2-30 过点作平行于直线的平面
分析与作图：过C作直线CD // AB，则包含CD所作的平面均与AB平行，本题有多解。作图步骤如下所示。
（1）过C作直线CD // AB；
（2）过C作直线CE，则DCE为所求平面。
（二）直线与平面相交
直线与平面如不平行，则一定相交，且直线与平面只能交于一点。该点是直线和平面的共有点，即该点既在直线上，又在平面内。因此，在求交点的作图过程中，将涉及平面内的直线与点。
（1）直线与特殊位置平面相交
特殊位置平面总有一个投影有积聚性，因此当直线与它相交时，就可以利用积聚性从图上直接得出其交点或交线。
如图2-31所示，直线EF与水平面△ABC相交。e'f'与a'b'c'的交点k'便是交点K的正面投影。根据k'，可在ef上找出其水平投影k。点K即为直线EF与水平面△ABC的交点。
图2-31 直线与平面交线的投影
如果直线与平面相交，则在投影图中需判断直线的可见性。投影图中用粗实线和虚线来区别可见和不可见部分的投影，并利用重影点来判别其可见性。
以图2-31中的水平投影为例。显然，ef与△abc相重合的部分将产生可见性的问题，并且点k是可见与不可见部分的分界点。这里只有两种可能：FK在△ABC上方而KE在下方，或者相反。图中EF和BC是交叉两直线，而ef与bc交叉重影于点1（2），在e'f'及b'c'上分别求出1'和2'，Ⅰ、Ⅱ即是位于同一条投射线上的一对重影点。可以看出，位于EF上的点Ⅰ比BC上的点Ⅱ的Z坐标值要大些。因此，对水平投影而言，FK可见，而KE上被△ABC遮住的部分不可见。
因为正面投影与水平投影的可见性不一定相同，所以在判别了直线的水平投影的可见性之后，还得另行判别正面投影的可见性。
（2）直线与一般位置平面相交
当直线与平面均处于一般位置时，我们就不能利用积聚性来求交点，这就需要利用辅助平面。
例2-8 如图2-32所示，直线AB与一般位置平面△DEF相交，求两者交点投影。
分析与作图：为求出其交点，总可找到一个包含AB直线的垂直面（如垂面R）。直线MN就是平面△DEF与辅助平面R的交线。交线MN与已知直线AB的交点K，即为直线AB与平面△DEF的交点。
根据以上分析，我们可以按照如下步骤求出线面交点。
首先，包含直线AB作一辅助平面（铅垂面R），如图2-32（c）所示；
其次，求出辅助平面R和平面DEF的交线MN，如图2-32（d）所示；
再次，求出直线MN与直线AB的交点K，分别作出该点的两面投影，如图2-32（e）所示；
最后，利用重影点，判别直线AB正面及水平投影的可见性，如图2-32（f）所示。
图2-32 直线与一般位置平面的交点
（三）直线与平面垂直
若一直线垂直于平面内的任意两条相交直线，则该直线垂直于此平面，同时垂直于平面内的一切直线。由此可知，一直线垂直于一平面，则该直线的正面投影必定垂直于该平面上正平线的正面投影，直线的水平投影必定垂直于平面上水平线的水平投影。反之，直线的正面投影和水平投影分别垂直于平面上正平线的正面投影和水平线的水平投影，则直线一定垂直该平面。
如图2-33所示，直线AK是垂直于平面P的，那么它一定也垂直于该平面内过垂足的水平线CD。因此，可得依据直角投影定理可知AK⊥CD。由于同一平面内的一切水平线都互相平行，例如CD//EF//PH，故得AK⊥EF、AK⊥PH。因此可得下列结论：如果一直线垂直于一平面，即该直线的水平投影一定垂直于该平面内水平线的水平投影。同理，可得结论：如果一直线垂直于一平面，则该直线的正面投影一定垂直于该平面内正平线的正面投影。
图2-33 直线垂直于平面的投影
例2-9 如图2-34（a）所示，求点K到△ABC的距离。
图2-34 点到平面的距离的投影
分析：距离问题其实是垂直问题。先过K作ABC的垂线，再求出垂足，最后利用直角三角形法求出垂线的实长。具体作图步骤如下所示。
（1）在△ABC内引一条正平线AF，即过a作af∥XO，交bc于f，根据点的投影规律，作出F的正面投影f'，连接a'f'；在△ABC内引一条水平线AG，过a'作a'g'∥XO，交b'c'与g'，同样根据点的投影规律，作出G的水平投影g，连接ag；
（2）过d'作d'e'⊥a'f'，过d作de⊥ag；
（3）使用辅助平面法，找出垂线与平面ABC的交点K；
（4）利用直角三角形法求得DK的实长，即为所求点D到平面距离。
二、平面与平面的位置
（一）平面与平面平行
如果一个平面内的相交两直线对应地平行于另一个平面内的相交两直线，则这两个平面互相平行（见图2-35）。根据上述的几何条件和两直线平行的作图方法，就可解决平行两平面的作图问题。
图2-35 平面与平面平行的投影
（二）平面与平面相交
平面与平面若不平行，则一定相交。两平面的交线一定是一条直线，这条直线为两平面所共有。因此，如果能设法求出两平面的两个共有点，或一个共有点和交线的方向，就可求出两平面的交线。
（1）平面与特殊位置平面相交
特殊位置平面总有一个投影有积聚性，因此当平面与它相交时，就可以从图上直接得出其交点或交线。图2-36表示一个正垂面DEFG与一个水平面△ABC相交。可以确定其交线为正垂线，且正面投影积聚为一点，水平投影为mn。图中的虚线表示了不可见部分。
图2-36 水平面与一般位置平面投影（1）
图2-37表示一般位置平面DEFG与一个水平面△ABC相交。因为△ABC的正面投影有积聚性，所以可直接求出DEFG的两个边DG和EF与△ABC的交点M和N，直线MN即为两平面的交线。
图2-37 水平面与一般位置平面交线投影（2）
（2）一般位置平面相交
求两个一般位置平面相交，可利用求直线与一般位置平面交点的方法求两平面的交线。图2-38表示了求两个三角形平面ABC与DEF交线的方法。我们取△DEF的边DE和DF，分别求出它们与△ABC的交点。这两个交点即两平面的两个共有点，然后连接两点的同面投影就得两平面的交线，并判断可见性。
图2-38 一般位置平面的交线投影
（三）平面与平面垂直
两平面垂直相交是两平面相交的一种特殊情形。如果一直线垂直于一平面，则包含此直线的所有平面都垂直于该平面，如图2-39所示。反之，如果两平面互相垂直，则从第一平面的任意一点向第二平面所做的垂线，必定在第一平面上。应用此几何特性即可作图，具体不再赘述。
图2-39 平面与平面垂直